rk000000282

Рунге-Кутта. В среде Ма^ЬСАБ последний реализован встроенной программой-функцией гкйхей. Для пользователя достаточно знать, что она содержит несколько рекуррентных формул вместо одной, как в методе Эйлера. Все остальное — вполне аналогично. П ример 32. Найти решение задачи Коши { Зу" + 2у4 + 15у = Д соз 31 + з т 31, у( 0 ) = О, 1 / ( 0 ) = 1 методами Эйлера и Рунге-Кутта на 20 шагах продолжительностью г* = 0.1 кажцЫЙ. Провести сравнительный анализ решений, полученных: методом Эйлера, методом Рунге-Кутта, амплитудно-фазовым методом, мето­ дом неопределенных коэффициентов, операционным методом. РЕШЕНИЕ. В ыполним последовательно все три этапа метода Эйлера. Э тап 1. Перейдем к канонической задаче Коши Г у ! = У2, 1 У 2 = ^ сон 31 + 5 з т 31 - §у 2 - фУ] , с начальными условиями Ух (М = 0, у 2 { ! о) = 1. Э тап 2. Найдем приближенные значения решения при 1о = 0, 1 \ = 0.1, ..., 1-20 = 2.0 (так как шаг к = 0.1). Для этого воспользуем­ ся бейсик-программой ЕЦЬЕВ. (см. Приложение 3) или средствами Ма^ЬСАП (см. п.3.5). На выходе получим таблицу значений ' Э тап 3. По последней таблице строим ломаную Эйлера или "вруч­ ную” , или средствами МаЪЬСАЭ, см. соответствующий рисунок в п.3.6. Решение данной задачи Коши было ранее получено: — амплитудно-фазовым методом в примере 25; — методом неопределенных коэффициентов -— в примере 26: — операционным методом — в примере 30. Каждый из этих методов дает (при правильном его применении) яв­ ное аналитическое решение в виде некоторой элементарной функции. По традиции такое решение называется точным 6. То, что мы не 6С цифровой точки зрения так понимаемое точное решение лучше приближен­ ного решения, полученного тем или иным рекуррентным методом, лишь тем, что гарантирует от накопления ошибки с течением расчетного времени. 80 ________________________Л инейные дифференциальные уравнения