rk000000282

Если начальные данные нулевые, то 0п-1(р) = 0. Итак, по формулам (25), (26), (27) находим У . Затем, выполняя обратное преобразование Лапласа, находим оригинал для У , то есть искомое решение. Заметим, что оригинал для Я(р)1/(р) в (25) есть решение задачи Коши (24) с нулевыми начальными данными, а оригинал для есть решение задачи Коши (24) с нулевым управлением и (случай од­ нородного дифференциального уравнения). Можно действовать и менее формально, относясь к каждому дан­ ному уравнению индивидуально. Однако всегда можно сказать, что задача Коши решается операционным методом в два шага. Ш а г 1. Составить вспомогательное уравнение в изсбриЛССПЯЯл II решить его как обычное алгебраическое уравнение. Ш а г 2. Осуществить переход от решения в изображениях к ре­ шению в оригиналах, то есть выполнить образное преобразование Лапласа. При реализации шага 1 решающими являются формулы взаимо­ действия операций дифференцирования и преобразования Лапласа: у '( 0 = р ^ ( р ) - у (0), у"(0 А р 2 У ( р ) — ру(0) — х / (0). _ П р им е р 29. Решить задачу Коши Г у " + 4у' + 4у = е - 24, { У(0) = 0, I У Ч 0 )= 0 операционным методом. Р е ш е н и е . Ш а г 1. Воспользовавшись таблицей из Приложения 1, получим е -2 . + _ Ц . Р А 2 Алгебраическое вспомогательное уравнение в изображениях имеет вид: Р 2 У ( Р ) - РУ( 0) ~ </(0) + Ц р У ( р ) - 5/(0)) + 4 У (р ) = р + I Так как у(0) = у?(0) = 0, то р-У(р) +• 4рУ (р) + 4У (р) = — Р + 2 70________________________ Л инейные дифференциальные уравнения