rk000000282

О пределение 2. Функция комплексного переменного р ОО р ( р ) = I «-'■/(<) л о называется изображением оригинала /(1 ) . Переход от /(1 ) к К(р) называют преобразованием Лапласа. Кро­ ме очевидного свойства линейности, преобразование Лапласа облада­ ет рядом других важных свойств. Так, изображение является ана­ литической функцией в полуплоскости Кер > з. Оригинал восстана­ вливается по своему изображению однозначно. Соответствие между оригиналом и изображением, то есть между /(1) и К(р), обычно обо­ значают как /(1 ) + К(р) или как К(р) + /(1 ) . Для наиболее часто встречающихся оригиналов их изображения приводятся в специаль­ ных таблицах, см. Приложение 1. Оригинал рациональной дроби является элементарной функцией. Если у(0 + У(р), то У '(0 = РУ {Р )~У ( 0), У 4 0 = Р2У[р) - ру{ 0) - у'(0) и т.д. Эти свойства являются решающими при применении преобра­ зования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. П рим ер 27. Найти изображение по Лапласу К(р) по заданному ори­ гиналу /(1) = 1е~"54 + 12 — нт 31. РЕШЕНИЕ. Согласно таблице из Приложения 1 имеем: 1 е -ы = ____!____ * (Р+ 5)2 ’ 2 ^ _ 2 !_ _ 2 _ р2+1 рЗ ’ • 04 . 3 3 8ш3 ’ р2 + 32 р2 + 9 Следовательно, в силу линейности преобразования Лапласа 1е~ы + 12 - 6 т 31 + т— Т Х о' (р + 5 у рл рг + 9 6 6 ________________________ Л инейные дифференциальные уравнения