rk000000282

ПРИМЕР 26. Методом неопределенных коэффициентов найти решение задачи Коши { Зу" + 2 у' + 15у = Д соз 31 + в т 31, »(0) = О, 5/(0) = 1. Р еш е н и е . Замечаем, что правая часть дифференциального уравне­ ния имеет вид (20). Соответственно: 1= 0. а + /?г = 0 + Зг*= Зг. Решать наше дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов — значит искать частное решение (частную реакцию) Ут в виде ( 22 ). Сначала найдем корни 91,92 характеристического многочлена Хч(я) — З 92 + ‘^9 + 15. Получим —1 + 2уТГг' - 1 - 2\/ТТг ?1= ~ Т ------ ' ?2= ------ Г- " Очевидно, что Зг не совпадает ни с 91 , ни с 9 — 2. Поэтому г = 0. Итак, у, -можно.найти- в-виде—- --------- -----— -— ----- ---- ------------- у. = Л соз 31 + 5 8 хп31, (23) где А, В — действительные константы (неопределенные коэффициен­ ты). Их-то и необходимо установить. Для этого найдем V и г/( из (23): у( = — ЗА зш 31 + 3 В сон 31, у" = —9.4 сон 31 — 9В нт 31. Подставим у*, V и у" а исходное уравнение у*, у* и у " . Будем иметь 3 (—9/4 сон 31 — 9Взт 31) + 2 (—ЗЛ нт 31 + ЗВ соз 30 + 15 (Л соз 31 + В 81 П31) = \Псон 31 + 8 т 31. Приведем подобные члены в левой части уравнения. Получим урав­ нение ( - 2 7 А + 6 В + 15Л) сон 3 1 + ( -6Л - 27 В + 15В) в т 31 = Д соз 31+нт 31. 02 ________________________ Л инейные дифференциальные уравнения