rk000000282

Наконец, С 1 ,С 2 , . . . , с п в (17) — это константы, которые при данном выборе у « ,у ьУ 2 , . . . ,у п зависят только от начальных условий. Поскольку вся информация об однородном дифференциальном урав­ нении (18) содержится в совокупности корней характеристического многочлена, то не удивительно, что наиболее простой способ постро­ ения фундаментальной системы решений (18) непосредственно связан с этими корнями, см. [5]. Э то т способ состоит из нескольких правил, самыми интересными из которых для нас являются следующие. 1. Каждый однократный действительный корень характеристи­ ческого многочлена, например р\ Е К, доставляет одно решение в фундаментальную систему: У 1 = ер1\ (19) 2 . Каждый двукратный действительный корень характеристиче­ ского многочлена, например р\ = р 2 € М, доставляет два решения в фундаментальную систему: У 1 = ер , 4 , у2 = 1 еР:, 4 . 3. Каждая пара однократных комплексно сопряженных корней характеристического многочлена, например р\ = а + г/? и р 2 = а —г/?, доставляет два решения в фундаментальную систему: У 1 = е"4 соз(/31), у 2 = еа* з т (/31). П ример 25. Амплитудно-фазовым методом найти решение задачи Коши { 3 у " + 2 у' + 15у = %/З соб 31 + вш 31, у(о) = О, УЧО) = 1. РЕШЕНИЕ. Решить дифференциальное уравнение амплитудно-фазо­ вым методом значит использовать передаточную функцию для нахо­ ждения частного решения (частной реакции) у*. Поскольку частота воздействия и> = 3, то 1 1 V ' 3(3г )2 + 2(3г) + 15 - 1 2 + 6 * Отсюда Л- М < 3*->' = р т Ь щ = ^ ’ 7 I V 58 Л инейные дифференциальные уравнения