rk000000282

многочлен имеет Г'0/Ц^,ггельный коэффициент при р2. Например, при а = 1 имеем неустойчивое дифференциальное уравнение Однако и при п > 2 положительность всех характери­ стического уравнения остается н е о б х о д и м ы м у с л о в и е м у с т о й ­ ч и в о с т и . Действительно, по основной теореме алгебры (теореме Гаусса) характеристический многочлен раскладывается (как много­ член с действительными коэффициентами) на произведение многочле­ нов первой и второй степени (с действительными коэффициентами). Его корни суть корни многочленов-сомножителей. Если имеет ме­ сто устойчивость, то все корпи — в девой полуплоскости. Тогда, в силу тривиального анализа случаев п = 1 , п = 2 , каждый многочлен- сомножитель имеет положительные коэффициенты. Следовательно, по<*ле раскрытия скобок исходный характеристический многочлен по­ лучит исключительно положительные коэффициенты. Установлен—^ ный нами факт необходимости положительности коэффициентов для устойчивости называют теоремой Стодолы. В теории и практике автоматики неустойчивость означает ситуа­ цию. близкую к аварии. Поэтому конструкторы автоматических си­ стем тщательно проверяют свои проекты на устойчивость. ПРИМЕР 21. Исследовать на устойчивость дифференциальное урав­ нение |Л + 2 / " - 2у" + 6»' + у = е2‘ . РЕШЕНИЕ. М ы имеем линейное дифференциальное уравнение с посто­ янными коэффициентами. Значит можно воспользоваться вышеизло­ женной теорией. Поскольку коэффициенты уравнения знакоперемен­ ны, то отсутствует необходимый признак устойчивости. Соответ­ ственно. получаем О т в е т : Дифференциальное уравнение не устойчиво. ПРИМЕР 22. Исследовать на устойчивость дифференциальное урав­ нение уУ + 2 у , у + 7у ''7 + 6 у " + у = и' - и. Р еш е н и е . В отличие от предыдущего случая, все коэффициенты сле­ ва положительны. Порядок уравнения больше двух. Поэтому в дан­ ном случае нужно воспользоваться тем или иным критерием устой­ чивости, например нашим. ■ 1 50 ________________________ Л инейные дифференциальные уравнения