rk000000282

этом случае оператор Оп и его характеристический многочлен Хп(я) называются устойчивыми. Для определения устойчивости линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ( 12 ) используют следую­ щий КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ. Т еорема 1. Дифференциальное уравнение (12) устойчиво тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена Хп(я) лежат в левой полуплоскости, то есть тогда и только тогда, когда из Хп{я) = 0, следует Ке 9 < 0. В случаях п = 1 и п = 2, то есть для дифференциальных уравне­ ний ( 12 ) первого и второго порядка, критерий 4 «устойчивости име­ ет особенно простое выражение: дифференциальное уравнение ( 12 ) устойчиво тогда и только тогда, когда все коэффициенты дифферен­ циального оператора 1 >п положительны. В частности, в модельных примерах — гармонический осциллятор под управлением силы, гармонический осциллятор под управлением смещения — имеем устойчивые дифференциальные уравнения, так как Д 2 4 , и * - ; р + / ‘ л + * и р > 0 , к > 0 . При п > 2 для устойчивости дифференциального оператора Оп положительности его коэффициентов уже недостаточно. Построить контрпример нетрудно. Воэьмем, например, тройку корней —1, а + г, а — г, где а > 0. Тогда по критерию устойчивости соответствующий харак­ теристический многочлен неустойчив. С другой стороны, он равен (р + 1 )(р - (а + г'))(р - (а - г)) = (р + 1 )((р - а )2 + 1 ) = рЛ + (1 - 2а)р2+ (1 - а)2р + (1 + о). Анализируя знаки коэффициентов полученного многочлена, приходим к выводу, что при 0 < а < 5 4Критерий — это всегда необходимое и достаточное условие. 2.3. Устойчивость 4&