rk000000282

40 Л инейные дифференциальные уравнения 0 ' Уравнение называется линейным х, если его левая часть линейно зависит от искомой функции у, а правая часть от у не зависит. Левая часть нашего уравнения линейно зависит от у, так как состоит из суммы членов вида а,у(*), г = 0 ,1 ,2 , где а,- — константы. Правая часть нашего уравнения — тождественный нуль, то есть не зависит от у. Следовательно, наше уравнение — линейное. Так как правая часть нашего линейного уравнения — ноль, то оно — однородное. Наконец, это — дифференциальное уравнение с постоянными дей­ ствительными коэффициентами. в) Напишем характеристическое уравнение и решим его: 39 2 + 69 + 1 = 0 , - 5 + л /И - 5 - фП ,1 = ------- ~------- . -------- - ------- . Следовательно, базис линейного пространства решений 1 состоит из двух решений: —мУТа. -ь-уТ». У1 = е * , У 2 = е е Значит, решение уравнения (3) будет иметь вид / \ - б4-У13 л —б—V1б4 / \ у(1) = С 1 У 1 + С 2 У 2 = С 1 "е « + с2е ® \ (4) Согласно начальному условию у(0) = 1 получаем С 1 + с 2 = 1 или ег = 1—С 1 . Следовательно, решение уравнения (3) при условии у(0) = 1 будет иметь вид . . - ь - 4 - \ / 7 5 . - ь - \ / Г з . . . у( 1 ) = с\е е * + ( 1 - с 1 )е— * *. (5) г) Анализ решения (4) дифференциального уравнения (3) показы­ вает следующее. 1) Так как 91,92 < 0, то при 1 —> +оо решение стремится к нулю: у (0 “ * 0 . 2) Динамическая система (гармонический осциллятор) никогда при с| + с 2 Ф 0 не придет в состояние покоя, но лишь стремится к нему. 3) Так как (3) — дифференциальное уравнение 2 3<?порядка, а дано лишь одно начальное условие, то решение (4) описывает не единствен­ ный процесс. Конец примера. точностью до равносильности. 2Фундаментальная система решений.