rk000000282

1.11. Неопределенный интеграл 29 1.11. Неопределенный интеграл О пределение 1. Функция / ( г ) из С в С называется аналитической и л и регулярной в точке, если она локально раскладывается в степен­ ной ряд с центром в этой точке. Можно доказать, что это равносильно дифференцируемости функции в некоторой окрестности этой точки. О пределение 2. Функция / ( 2 ) называется аналитической в области С , если она аналитична в каждой точке этой области. ПРИМЕРЫ АН АЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ : с2 — '■ ----- 2 ~ 1 п 2 , С О а ( 1 — е2), атс1&(г в т 2 г ) , ... 1 + г Функции е 2 , соз 2 , 1п 2 , агс!^ 2 получаются как аналитические про­ должения обычных функций ех , сон х, 1п х, агс!§ х. Каждая из них ана­ литическая в своей естественной области определения. 2 , Сумма, произведение, композиция аналитических функций явля­ ется аналитической функцией в своей естественной области опреде­ ления. Поэтому любая формула, составленная из базисных элементарных функций 2 , ег , соз 2 , 1 п 2 , агс !§ 2 с помощью операций сложения, умно­ жения й композиции, будет аналитической в своей естественной обла­ сти определения. » Аналитические функции обладают многими замечательными свой­ ствами. В частности, они отображают область на область, имеют аналитические же производные. Для элементарных аналитических функций сохраняются обычные таблицы производных и первообраз­ ных. Таблицу первообразных можно применять в областях аналитич­ ности подынтегральных функций, которые гомеоморфны кругу (по­ лучаются непрерывной обратимой деформацией последнего). ПРИМЕР 13. Вычислить неопределенный интеграл / нт 2г дг. РЕШЕНИЕ. Интегрируемая функция не имеет особых точек (аналити­ ческая всюду в С), поэтому ^ нт 22 Дг = ^ ^ нт 2г д2г — ^ (—сое 2г) + с, где с — константа, которая принадлежит С. 2 Проблемы многозначности мы не касаемся.