rk000000282

1.10. Растяжение и сжатие при отображениях 27 Задача 10 . Линеаризовать функцию ю(г) в окрестности точки а и дать геометрическую интерпретацию. 10 .1 . ю = зш 2 , а = 7} + г 1п2. 10 .2 . го = соя 2 ,а = + гТп 2. 10 .3 . го = ег , а = 1п2 + г^-. 10 .4 . гс = сон2г;а = —^- — гТп2. 10 .5 . и» = 81 П 2 , о = — г’ 1п4. 10 .6 . го = сон 2 , а = 2. —гТп4. 10 .7 . го — ег , а = — 1п4 + г|-. 10.8.^)ги= зш г, а = —у + гТ 10 .9 . га = 81 П 2 , а = я- + гТп 3. 10 .10 . хю = сон 2 , а = 7Г+ г 1п3. 10 .11 . го = е2 , а = 1 п 3 + гж. 10 .12 . го = г2, а = —1 + г. 10 .13 . га = 2 2, а = 1 —г. 10 .14 . ги = соз 2 , а = — + гТп3. 10 .15 . XV = ег , а = 1п 3 — г'|-. ТО ГбЛи; = зш 22 , а = — \ + г 1п2. 10 .17 . XV = 2 2. а = л/3 + г. 10 .18 . га = со8~22Га = т + г'1п 4. 10Л 9 . XV = е2г, а = 1п4 + г^. 10 .20 . го = вш 22^ а = д _+ *1п4 -_ 10 .21 . XV— 2 2, а = —1 — г. +1 0 .2 2 . га = соз 2г, сГ=Г—^ _рг~Гп~2?) 10 .23 . го = е2г, а = 1п2 — г^ . 10 .24 . гв = 2 2, а = —л/З — *. 1 0 .2 5 . и > = 2 2 — 2 , а = 1 + %/Зг. 10 .26 . га = 2 + гг2 , а = 1 — \/Зг. . 10 .27 . XV = г2, а = 1 + г. 10 .28 . го = 2 - 1 ; а = 1 + \/Зг. 1.10. Растяжение и сжатие при отображениях П р им е р 12. Выяснить, какая часть плоскости С локально растягива­ ется, а какая локально сжимается при отображении го = 2 2. РЕШЕНИЕ. Физическое сжатие или растяжение определяется через сравнение |го, |с единицей. Имеем: го' = (г2)' = 22 . Следовательно, при \1г\ < 1 — физическое сжатие, а при | 2 г| > 1 — физическое растяжение. Или: при ( 2 1 < | — физическое сжатие, а при \г\ > ^ — физическое растяжение (локальное). Таким образом, внутренность круга радиуса 1 /2 с центром в точке О подвергается физическому локальному сжатию, а внешность этого круга подвергается физическому локальному растяжению, рис. 1.9. На пограничной окружности |н/| = 1. Поэтому' бесконечно малая фигура с центром 2 на этой окружности преобразуется в равную себе . фигуру с центром г2. По смыслу возведения в квадрат это преобра­ зование будет состоять в повороте вокруг 0 на аг§ 2 и радиальном переносе на окружность радиуса 1 /4 . Тот же самый результат мы получим, если, в соответствии с идеей линеаризации, мысленно осу­ ществим сначала плоскопараллельный перенос в точку г2, а затем поворот на угол а г§и /( 2 ) = аг§ 2 вокруг этой точки.