rk000000282

9 .2 8 . а) и» = —г + (1 — г) 2 ; Л = {2 : \г\ < Д , ~ ^ аг& 2 < | 7 г } . б) ю = е~; О = {2 : 7 г ^ 1 т 2 ^ 2л, Ке 2 0}. 1.9. Линеаризация функции в окрестности точки П ример 11 . Линеаризовать функцию го в окрестности точки а и дать геометрическую интерпретацию, если хи = г 2 , а = 1 — л/Зг. РЕШЕНИЕ. Линеаризовать функцию го в окрестности точки а означа­ ет найти линеаризованную функцию и) 1 ( 2 ) = и>(а) + и/ (и)(г — а), смысл которой в приближенном равенстве го(г) « иц(г) при 2 « я. Так как Т ' ( 2 ) = ( 2 2 ) ' = 2 2 , ТО го'(а) = 2 а = 2(1 - л/Зг) = 2 - 2 \Иг. Функция го в точке а принимает значение ги(а) = а 2 = (1 - \Иг )2 = - 2 - 2 Д г . В результате, линеаризованная функция есть ги\ ( 2 ) = ( - 2 - 2л/3г) + (2 - 2\Иг)(г - (1 - \/Зг)). Обозначив 2 — а = А 2 , получим Т , ( 2 ) = ( - 2 - 2Д>г) + (2 - 2 \Иг)Д 2 . Геометрическая интерпретация. Комплексная плоскость преобра­ зуется так, что точка а переходит в точку А = ш(а) = —2 — 2л/3г. Бесконечно малая окрестность точки а переходит в бесконечно ма­ лую окрестность точки А , подвергаясь гомотетии с коэффициентом к = |гв'(а)|«= |2 — 2Д г\ = 2л/Т+~3 = 4 и повороту на угол <р = аг§ н /(а) = аг §(2 — й Д г ) = —-| радиан. ОТВЕТ: В бесконечно малой окрестности точки а = 1 — Д г (локаль­ но) данная нелинейная функция и>( 2 ) устроена также, как линейная функция нц( 2 ) = (—2 — 2 Д г ) + (2 — 2 Д г ) А г , где А г — г — а. Тем самым, происходит локальный поворот вокруг а на угол —Ц-, затем локальная гомотетия с коффициентом к — 4 и последующий перенос в точку ю(а) = — 2 — 2 \Иг. 26 __________ . ________________ Ф ункции комплексного переменного