rk000000282

1.8. Образ множества при отображении С - 4 С 23 8 .25 . гм = 5 2 + гг. 8 .26 . XV = ег —2г. 8 .2 7 . хм = (1 + г) 2 2. 8 .2 8 . хм = ег + 2. 1.8. Образ множества при отображении С —* С Простейшее нетривиальное отображение С —> С — это линейное отображение XV = 02, (4) где а Р С. а ф 0. Пусть п. = гс*^5, г > 0 По смыслу умноже­ ния комплексных чисел отображение (4) состоит из перестановочной композиции двух отображений: — гомотетии с коэффициентом г; — поворота на угол ф. Отображение хм = т 0 + а(г - 2 0), (5) которое также называют линейным, отличается от (4) лишь сдвига­ ми. Именно, в композиции для (5) последовательно участвуют: — гомотетия с коэффициентом г = |а| относительно центра 2 о; — поворот на угол аг§а вокруг го; — 1 сдвиг комплексной плоскости на и>о. Л ПРИМЕР 10. Определить, во что преобразуется геометрическая фи­ гура I) = {г : 0 < 1 т 2 ^ 2гг; Ке 2 ^ 0} при отображении хм : С —> С, где хм— е2 . Сделать рисунки И, нЦИ). Р ешение . Фигура К представляет собой полуполосу без нижней ча­ сти границы, см. рис. 1.8. Так как г = х + гу, то функция и; — е2 будет иметь вид ег = ехе{у. Отсюда следует, что экспонента е2 накручивает каждую вертикаль­ ную прямую с абсциссой хо па центральную окружность радиуса ех° . В силу условия х0 = Ке 2 ^ 0 максимальный радиус окружности равен 1 при х — 0 . В силу условия 0 < 1 т 2 ^ 2 л каждая окружность пробегается полностью. Следовательно, хч{И) представляет собой замкнутый еди­ ничный круг, см. рис. 1 . 8 . О т в е т : рис. 1.8.